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これから角の三等分をします（何 使用する器具は定規とコンパスのみだと思うんですがね。。。
説明に使っている図は即興のものゆえ厳密ではありません、あくまで添え物、ということでひとつ。
がんばって読みにくい文を読解してください。ではいきましょう。
- 鋭角についてのみ考えればいいことを示す。
鋭角について三等分できれば、
もし与えられた角が90度以上180度未満であれば、その角から90度を取り去り、
取り去ったものを三等分した後その角に隣接するように30度を作図すればよい。
与えられた角が180度以上270度未満なら180度取り去って同じようにすればいいし、
270度以上360度未満なら270度取り去って以下同じ。
よって、鋭角のみについて示せばよいことがわかる。
- 鋭角を三等分する
さっそく、鋭角の三等分に移る。
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- まず、与えられた角を二等分する。
角の二等分に関しては各自調べてほしい。中学で習う図形の範囲でおそらく習うはずである。
ここで、二等分線に垂直な線と、角をなす線との交点を、A,Bとする。
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- 次に、正三角形を書く。
まず、Bを通るように二等分線を平行移動させる。
その後、一辺が、Bを含む線に含まれるように正三角形を書く（大きさは適当でよい）。
そして、その正三角形を構成する辺を、Aを通るように平行移動させる。
角ACD,角ADCともに60度なので、三角形ADCは正三角形である。
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- 重心を探す。
今出来た正三角形の重心を探すべく、中線をDからEへ引く。重心をFとする。
すると、
この与えられた角からFへの線は、与えられた角を三等分する線のひとつになっている。
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- なぜか？とか補足
重心は、中線を2:1に分割するのはよく知られている。
なので、与えられた角から重心へ伸びる線は、与えられた角を3等分するひとつの線になる。
完全に三等分するには、
2:1に分割されている中線の、2のほうがある角を、二等分する。これで完成である。
この二等分する線と線ABとの交点を仮にGとした場合、（与えられた角をPとすれば）
三角形PGBにおいて、PFは中線である。よって、PFは角GPBを二等分している。
そして、三角形PAFにおいて、PGは中線である。よって、PGは角APFを二等分している。
この二つのことから、PFとPGは、角APBを三等分する二つの線であると結論付けられる。
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- まとめ
今回の三等分作図は、「重心は中線を2:1に分割する」という定理が非常に重要である。
それを中心に今回の方法を文でまとめると、
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- 与えられた角の二等分線を描く。
- それに垂直な線を描く。
- それが与えられた角によって分断された線分を高さとする正三角形を描く。
- 重心を求めると、その正三角形の中線が2:1に分割されるので、2のほうを二等分する。
- 中線を三等分する点へ、与えられた角から線を引く。
- それが、与えられた角を三等分する線である。
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以上、お疲れ様でした。さて、質問してくるか。
